Factorizar polinomios

1ºFactor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

1 x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3 x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.

2ºIgualdad notable

1Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x² − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x² + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.

3ºTrinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x² + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x⁴ − 10x² + 9

x² = t

x⁴ − 10x² + 9 = 0

t² − 10t + 9 = 0

x⁴ − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x⁴ − 2x² − 3

x² = t

t² − 2t − 3 = 0

x⁴ − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x + ) · (x − )

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 ·(− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Ejercicios resueltos de factorización de polinomios

Factorizar los polinomios

19x⁴ − 4x² =

x² · (9x² − 4) =

x² · (3x + 2) · (3x − 2)

2x⁵ + 20x³ + 100x =

x · (x⁴ + 20x² + 100) =

x · (x² + 10)²

33x⁵ − 18x³ + 27x =

3x · (x⁴ −6 x² + 9) =

= 3x · (x² − 3)²

42x³ − 50x =

=2x · (x² − 25 ) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x⁵ − 32x =

= 2x · (x⁴ − 16 ) =

2x · (x² + 4) · (x² − 4) =

= 2x · (x² + 4) ·(x +2) · (x − 2)

62x² + x − 28

2x² + x − 28 = 0

2x² + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

Descomponer en factores los polinomios

1

2xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x² − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x⁶ − 49 =

= (6x³ + 7) · (6x³ − 7)

5x² − 2x +1 =

= (x − 1)²

6x² − 6x +9 =

= (x − 3)²

7x² − 20x +100 =

= (x − 10)²

8x² + 10x +25 =

= (x + 5)²

9x² + 14x +49 =

= (x + 7)²

10x³ − 4x² + 4x =

= x · (x² − 4x +4) =

= x · (x − 2)²

113x⁷ − 27x =

= 3x · (x⁶ − 9 ) =

= 3x · (x³ + 3) · (x³ − 3)

12x² − 11x + 30

x² − 11x + 30 = 0

x² − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x² + 10x +3

3x² + 10x +3 = 0

3x² + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x² − x −1

2x² − x −1 = 0

2x² − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

Factorizar y hallar las raíces de los polinomios

1 2x³ − 7x² + 8x − 3

P(1) = 2 · 1³ − 7 · 1² + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x² − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 ² −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 )² · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )²

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x³ − x² − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 ³ − 1 ² − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) ³ − (−1) ² − 4 ≠ 0

P(2) = 2 ³ − 2 ² − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x²+ x + 2 )

x²+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x²+ x + 2 )

Raíz: x = 2.

3x³ + 3x² −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 1³ + 3 · 1² − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ + 3 · (−1)² − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2³ + 3 · 2² − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x² + 5x +6)

x² + 5x +6 = 0

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

46x³ + 7x² − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 ³ + 7 · 2 ² − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)³ + 7 · (−2)² − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x² −5x +1)

6x² −5x +1 = 0

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Factorización empleando el Método  de Ruffini

                        

5)  Calcular el valor de m para que    tenga como unas de sus raíces 2; calcule las otras raíces y factorice.